Wie man logarithmische Gleichungen löst

Inhalt

• Stufen
• Vorbemerkung: Wie man eine logarithmische Gleichung in eine Potenzgleichung umwandelt
• Methode 1 von 3: Finden x
• Methode 2 von 3: Finden x unter Verwendung der logarithmischen Produktregel
• Methode 3 von 3: Finden x unter Verwendung der Logarithmus-Quotientenregel

Logarithmische Gleichungen sind in der Mathematik nicht auf den ersten Blick am einfachsten zu lösen, können aber in Gleichungen mit Exponenten (Exponentialnotation) umgewandelt werden. Wenn Sie es also schaffen, diese Transformation durchzuführen, und wenn Sie die Berechnung mit den Kräften beherrschen, sollten Sie diese Art von Gleichungen leicht lösen. NB: Der Begriff "log" wird von Zeit zu Zeit anstelle von "logarithm" verwendet, sie sind austauschbar.

Stufen

Vorbemerkung: Wie man eine logarithmische Gleichung in eine Potenzgleichung umwandelt

1. 
   

   
   Beginnen wir mit der Definition des Logarithmus. Wenn Sie Logarithmen berechnen möchten, sollten Sie wissen, dass diese nichts anderes sind als eine besondere Art, Potenzen auszudrücken. Beginnen wir mit einer der klassischen Bedingungen des Logarithmus:
   • y = log_b (X)
     • dann und nur wenn: b = x
   • b ist die Basis des Logarithmus. Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein:
     • b> 0 (b muss unbedingt positiv sein)
     • b darf nicht gleich sein 1
   • In Exponentialschreibweise (zweite Gleichung oben) dort ist die Kraft und x ist der sogenannte Exponentialausdruck, in der Tat dessen Wert man nach dem Protokoll sucht.

2. 
   

   
   
   
   Beobachten Sie die Gleichung genau. Angesichts einer logarithmischen Gleichung müssen wir die Basis (b), die Potenz (y) und den Exponentialausdruck (x) identifizieren.
   • Beispiel : 5 = log₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Platzieren Sie den Exponentialausdruck auf einer Seite der Gleichung. Platzieren Sie zum Beispiel Ihren Wert x links vom Zeichen "=".
   • Beispiel : 1024 = ?

4. 
   

   
   Heben Sie die Basis auf die angegebene Leistung an. Der der Datenbank zugewiesene Wert (b) muss mit sich selbst multipliziert werden, so oft die Potenz angibt (dort).
   • Beispiel : 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = & delta;
     • In Kurzform ergibt dies: 4

5. 
   

   
   
   
   Schreiben Sie Ihre Antwort. Sie können den Logarithmus jetzt in Exponentialschreibweise umschreiben. Stellen Sie sicher, dass Ihre Gleichheit korrekt ist, indem Sie die Berechnung wiederholen.
   • Beispiel : 4 = 1024

Methode 1 von 3: Finden x

1. 
   

   
   Isolieren Sie den Logarithmus. Das Ziel ist in der Tat, das Protokoll in einem ersten Mal zu zerstören. Dazu übergeben wir alle nicht-logarithmischen Glieder auf der anderen Seite der Gleichung. Vergessen Sie nicht, die operativen Vorzeichen umzukehren!
   • Beispiel : log₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Schreiben Sie die Gleichung in Exponentialform. Um "x" zu finden, müssen Sie von der logarithmischen Notation zur exponentiellen Notation übergehen, wobei letztere leichter zu lösen ist.
   • Beispiel : log₃(x + 5) = 4
     • Ausgehend von der theoretischen Gleichung y = log_b (X)], wende es auf unser Beispiel an: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Schreiben Sie die Gleichung wie folgt: b = x
     • Wir erhalten hier: 3 = x + 5

3. 
   

   
   finden x. Sie stehen nun vor einer Gleichung ersten Grades, die leicht zu lösen ist. Es könnte zweiter oder dritter Grad sein.
   • Beispiel : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Geben Sie Ihre endgültige Antwort ein. Der Wert, den Sie für "x" gefunden haben, ist die Antwort auf Ihre logarithmische Gleichung: log₃(x + 5) = 4.
   • Beispiel : x = 76

Methode 2 von 3: Finden x unter Verwendung der logarithmischen Produktregel

1. 
   

   
   Sie müssen die Regel für das Produkt (Multiplikation) der Protokolle kennen. Gemäß der ersten Eigenschaft der Protokolle, die das Produkt der Protokolle betrifft (von derselben Basis gesendet!), Ist das Protokoll eines Produkts gleich der Summe der Protokolle der Elemente des Produkts. Abbildung:
   • log_b(m x n) = log_b(m) + log_b(N)
   • Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isolieren Sie die Protokolle auf einer Seite der Gleichung. Das Ziel ist in der Tat, zuerst die Protokolle zu zerstören. Dazu übergeben wir alle nicht-logarithmischen Glieder auf der anderen Seite der Gleichung. Vergessen Sie nicht, die operativen Vorzeichen umzukehren!
   • Beispiel : log₄(x + 6) = 2 - log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2 - log₄(x) + log₄(X)
     • log₄(x + 6) + log₄(x) = 2

3. 
   

   
   Wenden Sie die Regel in Bezug auf das Produkt der Protokolle an. Hier wenden wir es in umgekehrter Richtung an, nämlich dass die Summe der Protokolle dem Protokoll des Produkts entspricht. Was gibt uns:
   • Beispiel : log₄(x + 6) + log₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Schreiben Sie die Gleichung mit Kräften um. Denken Sie daran, dass eine logarithmische Gleichung in eine Gleichung mit Exponenten umgewandelt werden kann. Nach wie vor werden wir zur exponentiellen Notation übergehen, um das Problem zu lösen.
   • Beispiel : log₄(x + 6x) = 2
     • Ausgehend von der theoretischen Gleichung wenden wir sie auf unser Beispiel an: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Schreiben Sie die Gleichung wie folgt: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   finden x. Sie stehen nun vor einer Gleichung zweiten Grades, die leicht zu lösen ist.
   • Beispiel : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Schreiben Sie Ihre Antwort. Oft haben wir zwei Antworten (Wurzeln). In der Ausgangsgleichung sollte geprüft werden, ob diese beiden Werte geeignet sind. In der Tat können wir das Protokoll einer negativen Zahl nicht berechnen! Geben Sie die einzig gültige Antwort ein.
   • Beispiel : x = 2
   • Wir werden uns nie genug daran erinnern: Das Protokoll einer negativen Zahl existiert nicht, also können Sie es hier abweisen - 8 als Lösung. Wenn wir als Antwort -8 nehmen würden, hätten wir in der Grundgleichung: log₄(-8 + 6) = 2 - log₄(-8), dh log₄(-2) = 2 - log₄(-8). Kann den log eines negativen Wertes nicht berechnen!

Methode 3 von 3: Finden x unter Verwendung der Logarithmus-Quotientenregel

1. 
   

   
   Sie müssen die Regel kennen, die die Aufteilung der Protokolle betrifft. Gemäß der zweiten Eigenschaft der Protokolle, die die Aufteilung der Protokolle (desselben Basis-Sentends!) Betrifft, ist das Protokoll eines Quotienten gleich der Differenz des Protokolls des Zählers und des Protokolls des Nenners. Abbildung:
   • log_b(m / n) = log_b(m) - log_b(N)
   • Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Isolieren Sie die Protokolle auf einer Seite der Gleichung. Das Ziel ist in der Tat, zuerst die Protokolle zu zerstören. Dazu übergeben wir alle nicht-logarithmischen Glieder auf der anderen Seite der Gleichung. Vergessen Sie nicht, die operativen Vorzeichen umzukehren!
   • Beispiel : log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Wenden Sie die Protokollquotientenregel an. Hier wenden wir es in umgekehrter Richtung an, nämlich dass die Differenz der Logs gleich dem Log des Quotienten ist. Was gibt uns:
   • Beispiel : log₃(x + 6) - log₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Schreiben Sie die Gleichung mit Kräften um. Denken Sie daran, dass eine logarithmische Gleichung in eine Gleichung mit Exponenten umgewandelt werden kann. Nach wie vor werden wir zur exponentiellen Notation übergehen, um das Problem zu lösen.
   • Beispiel : log₃ = 2
     • Ausgehend von der theoretischen Gleichung wenden wir sie auf unser Beispiel an: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Schreiben Sie die Gleichung wie folgt: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   finden x. Jetzt, da es keine Protokolle mehr gibt, sondern nur noch Kräfte, sollten Sie diese leicht finden können x.
   • Beispiel : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & ndash; wir multiplizieren beide Seiten mit (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Geben Sie Ihre endgültige Antwort ein. Nehmen Sie Ihre Berechnungen zurück und machen Sie einen Scheck. Wenn Sie sich Ihrer Antwort sicher sind, schreiben Sie sie auf.
   • Beispiel : x = 3