So finden Sie die Wendepunkte

Inhalt

• Stufen
• Methode 1 Verstehe die Wendepunkte
• Methode 2 Ermitteln Sie die Ableitungen einer Funktion
• Methode 3 Finden Sie einen Wendepunkt

In der Differentialrechnung ist ein Wendepunkt ein Punkt einer Kurve, an dem sich das Vorzeichen der Konkavität ändert (von mehr à weniger oder weniger à mehr). Es wird in verschiedenen Disziplinen, einschließlich Ingenieurwesen, Wirtschaft und Statistik, verwendet, um grundlegende Änderungen von Daten zu bestimmen. Informationen zum Ermitteln der Wendepunkte finden Sie in Schritt 1 unten.

Stufen

Methode 1 Verstehe die Wendepunkte

1. 
   

   
   Verstehen Sie die konkaven Funktionen. Um die Wendepunkte zu verstehen, müssen Sie die konkaven Funktionen von den konvexen Funktionen unterscheiden können. Eine konkave Funktion ist eine Funktion, bei der keine Linie, die zwei Punkte in ihrem Diagramm verbindet, über das Diagramm verläuft.

2. 
   

   
   Konvexe Funktionen verstehen Eine konvexe Funktion ist im Wesentlichen das Gegenteil einer konkaven Funktion: Es ist eine Funktion, bei der keine Linie, die zwei Punkte in ihrem Diagramm verbindet, unter dem Diagramm verläuft.

3. 
   

   
   Verstehe die Wurzeln einer Funktion. Die Wurzel einer Funktion ist der Punkt, an dem die Funktion 0 annulliert oder gleich 0 ist.
   • Wenn Sie eine Funktion zeichnen müssen, sind die Wurzeln die Punkte, an denen die Funktion die x-Achse berührt.

Methode 2 Ermitteln Sie die Ableitungen einer Funktion

1. 
   

   
   
   
   Finden Sie die erste Ableitung der Funktion. Bevor Sie einen Wendepunkt finden können, müssen Sie die Ableitungen der Funktion finden. Ableitungsformeln für Grundfunktionen finden Sie in jeder Berechnung e. Sie müssen sie lernen, bevor Sie mit komplexeren Übungen fortfahren. Die ersten Ableitungen werden mit f (x) bezeichnet. Für Polynomausdrücke in der Form axp + bx (p-1) + cx + d ist die erste Ableitung apx (p-1) + b (p-1) x (p-2) + c.
   • Nehmen wir zur Veranschaulichung an, Sie müssen den Wendepunkt der Funktion f (x) = x3 + 2x-1 finden. Berechnen Sie die erste Ableitung dieser Funktion wie folgt:
     
     (x) = (x3 + 2x - 1) = (x3) + (2x) - (1) = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
2. Finden Sie die zweite Ableitung. Die zweite Ableitung stellt die erste Ableitung der ersten Ableitung der Funktion dar, die mit f bezeichnet ist (X).

   
   

   
   
   
   
   • Berechnen Sie im obigen Beispiel die zweite Ableitung der Funktion wie folgt:
     
     f (x) = (3 × 2 + 2) = 2 × 3 × x + 0 = 6 ×

3. 
   

   
   Brechen Sie die zweite Ableitung ab. Setzen Sie die zweite Ableitung gleich Null und lösen Sie die Gleichung. Ihre Antwort wäre wahrscheinlich ein Wendepunkt.
   • Im folgenden Beispiel lautet die Berechnung wie folgt:
     
     f (x) = 0
     6x = 0
     x = 0

4. 
   

   
   Finden Sie die dritte Ableitung der Funktion. Um herauszufinden, ob Ihre Antwort tatsächlich ein Wendepunkt ist, ermitteln Sie die dritte Ableitung, die die erste Ableitung der zweiten Ableitung der Funktion ist und mit bezeichnet wird (X).
   • Im obigen Beispiel:
     
     f (x) = (6x) = 6

Methode 3 Finden Sie einen Wendepunkt

1. 
   

   
   Bewerten Sie die dritte Ableitung. Die Standardregel zur Bewertung eines möglichen Wendepunkts lautet: Wenn die dritte Ableitung ungleich 0 ist, ist der wahrscheinliche Wendepunkt tatsächlich ein Wendepunkt. Bewerten Sie Ihre dritte Ableitung, wenn sie nicht gleich 0 ist, dann ist der Punkt tatsächlich ein Wendepunkt.
   • Im obigen Beispiel ist die dritte Ableitung 6 und nicht 0. Dies ist eigentlich ein Wendepunkt.

2. 
   

   
   Finden Sie den Wendepunkt. Die Koordinate des Wendepunktes wird mit (x, f (x)) bezeichnet, wobei x der Wert des variablen Punktes am Wendepunkt und f (x) der Wert der Funktion am Wendepunkt ist.
   • Denken Sie im obigen Beispiel daran, dass x bei der Berechnung der zweiten Ableitung 0 ergab. Sie müssen also f (0) berechnen, um Ihre Koordinaten zu bestimmen. Ihre Berechnung würde folgendermaßen aussehen:
     
     f (0) = 03 + 2 × 0-1 = -1.

3. 
   

   
   Notieren Sie die Koordinaten. Die Koordinaten des Wendepunkts sind: der Wert von x und die Antwort, die oben gefunden wurde.
   • Im obigen Beispiel sind die Koordinaten des Wendepunkts (0, -1).